高考数学秘笈:四步解题法24——布局沟通之“最难”高考题分析

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高考数学秘笈:四步解题法24——布局沟通之“最难”高考题分析
发布日期:2022-08-23 15:06    点击次数:137

冯跃峰

本节我们用一个难度较大的高考题的例子,分析解题中怎么样“布局沟通”,它可以或许称得上是史上“最难”高考题之一。

【标题成就成就】设A是定义在[2,4]上且餍足以下条件的函数f(x)形成的鸠合:

①对肆意的x∈[1,2],都有f(2x)∈(1,2);

②存在常数L(0<L<1),使得对肆意的

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,都有

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假定存在

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,使得

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,那末这样的

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是仅有的;

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任取

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∈(1,2),令

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,n=1,2,…,证明:给定正整数k,对肆意的正整数p,创建不等式

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(2006年高考压轴题)

【阐发与解】先推敲成就(I),其目的为:验证

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餍足①和②。

①对肆意的x∈[1,2],都有

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∈(1,2)。

②存在常数L(0<L<1),使得对肆意的

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∈[1,2],有

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个中①是很俭朴的,间接由条件“1≤x≤2”,布局目的中的

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,估量其取值领域即可。

理论上,由1≤x≤2,得3≤1+2x≤5,所以

1<

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∈<2

是以有

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∈(1,2)。

关于②,我们支解目的,直立这样的解题主线:

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——→

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解题的关键,是在今后形态中布局

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,这将

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中的“根号”去掉(有理化)即可。

所以给与以下变形:

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,则结论创建。

下面推敲成就(II)。这是仅有性成就,平日用反证法。

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假定另有

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,怎么样导出抵牾?先要大白解题的目的!

显明,由仅有性,我们要证明:

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是以要在相干条件中布局

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哪个条件与之激情亲切?——显明是条件②。

由条件②,存在0<L<1,使

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下面推敲成就(III),其目的很宏壮,有两个普通性参数:给定正整数k,对肆意的正整数p,创建不等式

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间接经管这个普通性成就相比费力,可给与“退”的计策来简化目的。

先推敲p=1的景遇,目的变为:

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(*)。

假定证明目的(*)还找不到思路,可延续用“退”的计策来简化目的!

比喻,取定k=1时,则目的(*)变为

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,它显明创建。

取定k=2,则目的(*)变为

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对这个子成就,可支解目的,直立以下的解题主线:

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——→

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(从一边放缩到另外一边)。

寻找条件,有:

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,…,

以及①对肆意的x∈[1,2],都有

f(2x)∈(1,2);

②存在常数L(0<L<1),使得对肆意的

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,都有

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今朝要由今后形态“

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”放缩到“

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”,而具有放缩功用的条件是条件②,这就要由今后形态先布局条件中的

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这行使另外一个条件:

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即可。

是以,

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至此,行使条件②举行放缩,解题水到渠成:

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由这一特例,已经可看出p=1(k肆意)的普通成就的经管规划了:反复举行上述放缩即可。假定一时尚未看出纪律,还可延续看看k=3的景遇。

当k=3时,目的(*)变为

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对这个子成就,可直立以下解题主线:

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——→

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仿上,由

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先放缩到

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,进而放缩到

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。具体进程以下:

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普通地,对p=1(k肆意),我们有

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结论创建。

对p=2的景遇,解法近似,请巨匠自身实现(这是经管原题的关键)。

当p=2时,目的变为:

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。(*)

留心:前面研究进程中的编制和结论都是值得自创的!

由上已经失去

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它评释:肆意相邻两项之差可以或许向

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转化(放缩变形)!它包孕的不是一个不等式,而是无数个不等式(k可以或许肆意取值)!

比喻:

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由此想到将以上两个不等式相加,有

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至此,已经不难实现原题的证明了!

具体解答以下:

【新写】(I)对肆意的x∈[1,2],

有 3≤1+2x≤5,

所以1<

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<2

是以

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∈(1,2),条件①餍足;

对肆意的

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,有

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,知条件②餍足。

所以f(x)=

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∈A。

(II)

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假定另有

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则由条件②,存在0<L<1,使

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所以1≤L,与“0<L<1”抵牾,是以,餍足条件的

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是仅有的。

(III)因为

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由条件①知,对n=1,2,…,有

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∈(1,2)。

进而,由条件②知,存在常数0<L<1,使对肆意正整数n,有

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是以,对给定的正整数k及肆意的正整数p,有

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命题获证。

附:四步解题法的框图以下:

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